Επειδή η κανονική κατανομή έρχεται και επανέρχεται αβίαστα στις διαλέξεις αυτού του εξαμήνου, και επειδή ως μηχανικός δεν μπορώ να δεχτώ ότι απλά "υποθέτουμε/δεχόμαστε/πιστεύουμε και δεν ερευνάμε" ότι ένα στοχαστικό φαινομενο έχει κανονική κατανομη, αντιγράφω (από http://www.ted.unipi.gr/Uploads/Files/Material/Courses/82_1233877632.pdf):
[και για να είμαστε πιο ακριβείς, ως κανονική ονομάζουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής X, f(x) από την οποία μπορεί να προκύψει η συνάρτηση κατανομής F(x) = P(X<=x)]
Η κανονική συνάρτηση πιθανότητας εμφανίζεται σε πληθώρα στατιστικών εφαρμογών. Ένας από τους λόγους που συμβαίνει αυτό είναι το κεντρικό οριακό θεώρημα (Central Limit Theorem). Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, τυχαίες μεταβλητές είναι σχεδόν κανονικά κατανεμημένες αν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι πολύ μεγάλος. Για παράδειγμα, αν ρίξουμε ένα νόμισμα, ο συνολικός αριθμός των κορόνων προσεγγίζει την κανονικότητα αν ρίξουμε το νόμισμα πολλές φορές.
Αν μια τυχαία μεταβλητή Χ πληροί τις παρακάτω συνθήκες, που ονομάζονται συνθήκες Βorel, τότε η μεταβλητή αυτή ακολουθεί κατά προσέγγιση τον κανονικό νόμο. (η δε προσέγγιση αυτή είναι τόσο καλύτερη, όσο το πλήθος των αιτιών είναι μεγαλύτερο):
1. η μεταβλητή X εξαρτάται από μεγάλο πλήθος αιτίων
2. τα αίτια αυτά είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους
3. κάθε ένα από αυτά τα αίτια επιδρά λίγο στη μεταβλητή
4. όλα τα αίτια επιδρούν στη μεταβλητή με την αυτή τάξη
μεγέθους
